线性拟合

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"模型中参数的确定一般的线性模型是以参数 在最小二乘意义下用线性模型(3)拟合离散点组(1),参数b可通过解方程组(i=0

什么是线性拟合

曲线拟合 曲线拟合

曲线拟合 正文

用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。更广泛地说,空间或 高维空间 中的相应问题亦属此范畴。在数值分析中,曲线拟合就是用解析表达式逼近 离散数据 ,即离散数据的公式化。实践中,离散点组或数据往往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值,它们是零散的,不仅不便于处理,而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。

数学表述 设给定离散数据

(1)式中 x k为自变量 x (标量或向量,即一元或多元变量)的取值; y k为 因变量 y (标量)的相应值。曲线拟合要解决的问题是寻求与(1)的背景规律相适应解析表达式 (2)使它在某种意义下最佳地逼近或拟合(1), ( x , b )称为拟合模型;为待定参数,当 b )仅在 中线性地出现时,称模型为线性的,否则为非线性的。量称为在 x k处拟合的 残差 或剩余,衡量 拟合优度 的标准通常有式中 ω k>0为权系数或权重(如无特别指定,一般取为平均权重,即( k =1,2,…,m),此时无需提到权)。当参数 b )使 T ( b ))或 Q ( b ))达到最小时,相应的(2)分别称为在加权切比雪夫意义或加权最小二乘意义下对 (1)的拟合,后者在计算上较简便且最为常用。模型中参数的确定 一般的线性模型是以参数 b )为系数的广义多项式,即 , (3)式中 g 0, g 1,…, g n称为基函数。对诸 gj 的不同选取可构成多种典型的和常用的线性模型。从函数逼近的观点来看,式(3)还能近似地体现许多非线性模型的性质。

在最小二乘意义下用线性模型(3)拟合离散点组(1),参数 b 可通过解方程组( i =0,…, n )来确定,即解关于 b 0, b 1,…, b n的线性代数方程组 (4)式中 ( i , j =0,1,…, n ),方程组(4)通常称为法方程或 正规方程 ,当m> n 时一般有惟一解。

至于非线性模型以及非最小二乘原则的情形,参数 b )可通过解非线性方程组或最优化计算中的有关方法来确定(见 非线性方程组数值解法 、最优化)。

模型的选择对于给定的离散数据(1),需恰当地选取一般模型(2)中函数 ( x , b ))的类别和具体形式,这是拟合效果的基础。若已知(1)的实际背景规律,即因变量 y 对自变量 x 的依赖关系已有表达式形式确定的经验公式,则直接取相应的经验公式为拟合模型。反之,可通过对模型(3)中基函数 g 0, g 1,…, g n(个数和种类)的不同选取,分别进行相应的拟合并择其效果佳者。函数 g 0, g 1,…, g n对模型的适应性起着测试的作用,故又称为 测试函数 。另一种途径是:在模型(3)中纳入个数和种类足够多的测试函数,借助于数理统计方法中的相关性分析和 显著性检验 ,对所包含的测试函数逐个或依次进行筛选以建立较适合的模型(见回归分析)。当然,上述方法还可对拟合的残差(视为新的离散数据)再次进行,以弥补初次拟合的不足。总之,当数据中变量之间的内在联系不明确时,为选择到相适应的模型,一般需要反复地进行拟合试验和分析鉴别。

定义

线性拟合 已知某函数的若干 离散函数 值{f1,f2,…,fn},通过调整该 函数 中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λm), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性,就叫 线性拟合 或者 线性回归( 主要在统计中)。

应用

线性拟合作为数学计算中一种常用的数学方法,在建筑、物理、化学、甚至于天体物理、航天中都得到基本的应用。一般情况下,线性拟合需要根据实际需要,取用不同的拟合度,即R2。

线性拟合与线性回归的区别

线性拟合散点图 两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线,这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”;如果不是一次函数关系的——图象不是直线,就是“非线性关系”。

外文名
应用学科
数学、物理学
适用领域
曲线拟合
类别
数理学
词性
名词