圆锥

学科 | 自然科学 | 数学 | 数学科的几何图形之一

圆锥是一种几何图形,有两种定义。解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义:以 直角三角形直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的 母线 。(边是指直角三角形两个旋转边)

定义

圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。

以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

注意:圆锥不是特殊的圆柱。

组成

圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;

圆锥母线 :圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的 侧面积 :将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的 $$$$formula$$$$ ;没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线,且底面展开图为一圆形,侧面展开图是扇形。

测量

$$$$formula$$$$ (l:母线长,r:底面半径)

底面周长

$$$$formula$$$$ (r:底面半径, $$$$formula$$$$ :侧面展开图 圆心角 弧度,l:母线长)

表面积

一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积

圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成 $$$$formula$$$$

$$$$formula$$$$

其中, $$$$formula$$$$ (r:底面半径,l:圆锥母线, $$$$formula$$$$ :侧面展开图圆心角弧度)

体积

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的 $$$$formula$$$$ 。

根据 圆柱体积公式 $$$$formula$$$$ ( $$$$formula$$$$ ),得出圆锥 体积公式 : $$$$formula$$$$ ,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

【证明】

把圆锥沿高分成k份,每份高 $$$$formula$$$$ ,

第 n份半径: $$$$formula$$$$

第 n份底面积: $$$$formula$$$$

第 n份体积: $$$$formula$$$$

总体积: $$$$formula$$$$

∵ $$$$formula$$$$

∴总体积: $$$$formula$$$$

$$$$formula$$$$

$$$$formula$$$$

∵ 当k越来越大,总体积越接近于圆锥体积, $$$$formula$$$$ 越接近于0

∴ $$$$formula$$$$

∵ V圆柱 $$$$formula$$$$

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的 $$$$formula$$$$

绘制方法

展开图

圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。(如右图) 在绘制指定圆锥的展开图时,一般知道a(母线长)和d(底面直径)

∵弧 $$$$formula$$$$ 的周长

∴弧 $$$$formula$$$$

∵弧 $$$$formula$$$$

∴ $$$$formula$$$$

∴ $$$$formula$$$$

将 $$$$formula$$$$ 带入 $$$$formula$$$$ 得到 $$$$formula$$$$ 的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。

母线长等于底面圆直径的圆锥,展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的 $$$$formula$$$$ 。

三视图

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。 圆锥

主视图 和侧视图均为 等腰三角形俯视图 是一个圆和圆心。

应用

生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤等都可以近似地看作圆锥。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。 圆锥

中文名
圆锥
外文名
circular cone
学科门类
数学
属于
几何图形
体积公式
V=Sh(V=πr^2h)
表面积公式
侧面积+底面积